Title: Familles sommables

Q: Condition nécessaire et suffisante pour qu'une famille de nombres complexes soit sommable.
La famille \((x_i)_{i \in I}\) est sommable si et seulement si : [...].
A: \(\sum\limits_{i\in I} |x_i| < +\infty\)

Q: Sommabilité quand \(I = \mathbb{N}\).
La famille \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est sommable si et seulement si [...].
A: la série \(\sum\limits_{n\geqslant 0} x_n\) converge absolument

Théorème de sommation par paquets.
Si \((x_i)_{i \in I}\) vérifie l'une de ces deux hypothèses :
- c'est une famille de réels positifs ;
- c'est une famille de nombres complexes sommable ;
alors pour toute réunion disjointe \(I = \bigcup\limits_{n=0}^{+\infty} I_n\) on a :
\[
\sum_{i \in I} x_i = \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k \in I_n} x_k.
\]

Q: Théorème de sommation par paquets (exemple avec \(I=\mathbb{Z}\)).
Soit \((x_n)_{n\in \mathbb{Z}}\) une famille [...].
\[
\sum_{n \in \mathbb{Z}} x_n = [...].
\]
A: de réels positifs ou de nombres complexes sommable; x_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} x_k + \sum_{k=1}^{+\infty} x_{-k}

Q: Théorème de sommation par paquets (séparation en termes pairs et impairs).
Soit \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une famille [...].
\[
\sum_{n=0}^{+\infty} x_n = [...].
\]
A: de réels positifs ou de nombres complexes sommable; \sum_{k=0}^{+\infty} x_{2k} + \sum_{k=0}^{+\infty} x_{2k+1}

Q: Théorème de sommation par paquets (exemple avec \(I=\mathbb{N}^2\), tranches verticales).
Soit \((x_(m,n))_{(m,n)\in \mathbb{N}^2}\) une famille de réels positifs ou de nombres complexes sommable.
\[
\sum_{(m,n)\in \mathbb{N}^2} x_{m,n} = [...].
\]
A: \sum_{m=0}^{+\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} x_{m,n}

Q: Théorème de sommation par paquets (exemple avec \(I=\mathbb{N}^2\), tranches horizontales).
Soit \((x_(m,n))_{(m,n)\in \mathbb{N}^2}\) une famille de réels positifs ou de nombres complexes sommable.
\[
\sum_{(m,n)\in \mathbb{N}^2} x_{m,n} = [...].
\]
A: \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{+\infty} x_{m,n}

Q: Théorème de sommation par paquets (exemple avec \(I=\mathbb{N}^2\), tranches diagonales).
Soit \((x_(m,n))_{(m,n)\in \mathbb{N}^2}\) une famille de réels positifs ou de nombres complexes sommable.
\[
\sum_{(m,n)\in \mathbb{N}^2} x_{m,n} = [...].
\]
A: \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{n} x_{k,n-k}

Produit de familles sommables.
Si \((x_i)_{i \in I}\) et \((y_j)_{j \in J}\) vérifient l'une de ces deux hypothèses :
- ce sont des familles de réels positifs ;
- ce sont des familles de nombres complexes sommable ;
alors :
\[
\left(\sum_{i \in I} x_i\right)\left(\sum_{j \in J} y_j\right) = \sum_{(i,j) \in I\times J} x_iy_j.
\]

Théorème de Fubini.
Si \((x_{i,j})_{(i,j) \in I\times J}\) vérifie l'une de ces deux hypothèses :
- c'est une famille de réels positifs ;
- c'est une famille de nombres complexes sommable ;
alors :
\[
 \sum_{(i,j) \in I\times J} x_{i,j} =  \sum_{i \in I}\sum_{j\in J} x_{i,j} = \sum_{j \in J}\sum_{i\in I} x_{i,j} .
\]

Q: Vrai ou faux.
\[
\left(\sum_{i \in I} x_i\right)\left(\sum_{i \in I} y_i\right) = \sum_{i \in I} x_iy_i.
\]
A: C'est ARCHI-FAUX.
On a :
\[
\left(\sum_{i \in I} x_i\right)\left(\sum_{j \in J} y_j\right) = sum_{(i,j) \in I\times J} x_iy_j.
\]
Ne pas nommer semblablement les deux indices de sommation, pour éviter de se tromper !

Q: Quand on veut calculer une somme \(\sum\limits_{i \in I} x_i\) :
- On montre d'abord que [...] ;
- L'étape précédente montre que [...], donc [...].
A: \(\sum\limits_{i \in I} |x_i|<+\infty\), sachant qu'on peut calculer cette somme avec tous les théorèmes sur les familles sommables (réels positifs); la famille \((x_i)_{i \in I}\) est sommable; la somme \(\sum\limits_{i \in I} x_i\) existe, et tous les théorèmes sur les familles sommables s'appliquent à son calcul